¿Debería el registro escolar de mi hija mostrar el nombre de su madre biológica (esquizofrénica / divorciada) o el nombre de mi esposa actual (madrastra)?

Seguramente sería la Madre biológica porque, según la disposición del artículo 6 de la ley de minorías y tutela de 1956, la Palabra Madre no significa madrastra. Entonces, en el lugar, será el nombre de la madre biológica que sigue siendo la verdadera madre del niño al menos y quién es su ex esposa.

Creo que deberías escribir el nombre de su madre biológica. Si tienes dudas, pregunta a las autoridades escolares.