Cómo evitar que otros miembros de la familia, que están en mi plan de iPhone / red, no reciban mis mensajes entrantes y salientes

El plan de red no tiene nada que ver con esto. Estás compartiendo una ID de Apple.

La forma de solucionar esto es configurar el intercambio familiar. Apple le permite vincular sus ID de Apple individuales para que los padres puedan pagar las compras de los niños. También pueden controlar las compras, pero separa los mensajes, etc., por lo que todo es privado.

Para configurar Family Sharing, ve a la configuración de iCloud en iPhone, iPad o tu Mac.