Digamos que tiene una secuencia monótonamente creciente, cuya primera entrada es 1, como los enteros.
1, 2, 3, 4,…
Imagine que cada entrada tiene una propiedad llamada “grandeza”, que siempre es mayor que la de la entrada que la precedió. Si multiplicas dos entradas juntas, obtienes un número cuya “amplitud” es mayor que la de cada uno de los dos números originales.
Ahora imagine que había un tipo diferente de número cuya “amplitud” era mayor que cualquier número que pudiera aparecer en cualquier parte de esta secuencia. Aunque no aparezca en esta secuencia, vamos a teorizar que existe. Tiene un tipo diferente de amplitud llamada “amplitud extrema”, que es, en cierto sentido, la máxima amplitud posible. Si multiplica cualquier número en la secuencia por este número con “gran amplitud extrema”, no puede obtener un número con mayor amplitud que los dos números originales, ya que uno ya tiene una mayor amplitud, por lo que en cambio solo obtiene el número con “gran amplitud extrema “que es el mismo número que tenías antes.
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Supongamos que tiene una secuencia monótonamente decreciente, cuya primera entrada es 1, como los enteros recíprocos.
1, 1/2, 1/3, 1/4,…
Imagine que cada entrada tiene una propiedad llamada “pequeñez”, que siempre es mayor que la de la entrada que la precedió. Si multiplicas dos entradas juntas, obtienes un número cuya “pequeñez” es mayor que la de cada uno de los dos números originales.
Ahora imagine que había un tipo diferente de número cuya “pequeñez” era mayor que cualquier número que pudiera aparecer en cualquier parte de esta secuencia. Aunque no aparezca en esta secuencia, vamos a teorizar que existe. Tiene un tipo diferente de pequeñez llamada “pequeñez extrema” que es, en cierto sentido, la máxima pequeñez posible. Si multiplica cualquier número en la secuencia por este número con “extrema pequeñez”, no puede obtener un número con una pequeñez mayor que los dos números originales, ya que uno ya tiene una minúscula máxima, por lo tanto, solo obtiene el número con “pequeñez extrema “que es el mismo número que tenías antes.
Si multiplica un número con la amplitud por un número pequeño, obtiene un número cuyo valor se encuentra entre los dos números iniciales. Sin embargo, si multiplica un número con pequeñez por el número con amplitud extrema, todavía obtendrá el número con amplitud extrema, porque la pequeñez del primer número no es suficiente para superar la gran amplitud extrema del segundo número. De manera similar, si multiplica un número con la amplitud por un número con una minúscula extrema, todavía obtendrá el número con la minúscula extrema, porque la amplitud del primer número no es suficiente para superar la pequeñez extrema del segundo número.
Sin embargo, ¿qué sucede si multiplicas el número con una amplitud extrema con el número con una minúscula extrema? En este caso, la amplitud extrema del primer número es capaz de superar la pequeñez extrema del segundo número. De manera similar, la pequeñez extrema del segundo número es capaz de superar la amplitud extrema del primer número. La amplitud extrema del primer número y la pequeñez extrema del segundo número se anulan entre sí, y se obtiene un número sin amplitud extrema ni pequeñez extrema.
Así que aquí están los nombres comunes de estos números.
número con pequeñez extrema – cero
Número con tamaño pequeño pero no extremo. Número entre cero y uno.
Número sin pequeñez ni grandeza – uno
Número con amplitud pero no extrema. Número entre uno e infinito.
número con gran amplitud – infinito
Número sin dureza extrema ni amplitud extrema: número entre cero e infinito
Podría completar una tabla que muestre qué respuesta obtiene si multiplica cada uno de los tipos de números anteriores con cada uno de los tipos de números anteriores. Aquí, no tengo una forma de dibujar una tabla, así que solo enumeraré algunos resultados.
Si multiplicas dos números entre cero y uno, obtienes un número entre cero y uno, más pequeño que los otros dos.
Si multiplicas dos números entre uno e infinito, obtienes un número entre uno e infinito, más grande que los otros dos.
Si multiplicas un número entre cero y uno por un número entre uno e infinito, obtienes un número cuyo valor se encuentra entre los dos primeros.
Si multiplicas un número entre cero e infinito por uno, obtienes el mismo número exacto.
Si multiplicas un número entre cero e infinito por cero, obtienes cero.
Si multiplicas un número entre cero e infinito por infinito, obtienes infinito.
Si multiplicas uno por uno obtienes uno.
Si multiplicas cero por cero, obtienes cero.
Si multiplicas el infinito por el infinito, obtienes el infinito.
Si multiplicas cero por infinito, obtienes un número entre cero e infinito.
Usted escribiría esto como
0 x infinito = R +, que son todos los números reales positivos.
Cualquier número real positivo obedecería esta ecuación, así que vamos a elegir 1.
0 x infinito = 1
Puede reorganizar esta ecuación, de las siguientes dos maneras.
1/0 = infinito
1 / infinito = 0
Esto es un alivio porque intuitivamente es lo que usted esperaría ya que
Como x -> 0, 1 / x -> infinito
Como x -> infinito, 1 / x -> 0
Así que si tomas el límite, al cálculo, terminas con
1/0 = infinito
1 / infinito = 0
Siendo ese el caso, ¿por qué a veces escuchas a la gente decir que “no puedes” dividir entre cero?
Con todos los problemas de matemáticas, primero debe especificar de qué conjunto está seleccionando las respuestas, es decir, qué conjunto considera que son respuestas permitidas. Los enteros se cierran bajo adición, lo que significa que si agrega dos enteros, se garantiza que la respuesta también será un entero. Sin embargo, los enteros no están cerrados por división. Si divide dos enteros, puede obtener un entero, como 4/2 = 2, pero no puede obtener un entero, como 1/2. Lo que eso significa es que, si elige, los enteros como el conjunto de respuestas permitidas, no se le permite dividir 1 por 2, porque la respuesta, en este caso 1/2, no está dentro del conjunto de respuestas permitidas. Sin embargo, si elige que el conjunto de respuestas permitidas no sean los enteros, sino los números reales, entonces se le permitirá dividir 1 por 2, ya que 1/2 es uno de los números reales.
Cuando a los niños se les enseña raíces cuadradas, se les dice que se pregunten “¿Qué número multiplicado por sí mismo da ese número?” Se les enseña a hacer aritmética con números negativos cuando se les dice: “Si multiplicas dos números con el mismo signo, la respuesta es positiva. Si multiplicas dos números con el signo opuesto, la respuesta es negativa”. Si luego le pregunta a ese mismo niño “¿Cuál es la raíz cuadrada de -1?”, Se reirían y dirían: “No hay respuesta” o “No se le permite tomar la raíz cuadrada de -1”, porque un número Tiene que ser el mismo signo que el mismo. Lo que están haciendo sin darse cuenta, es seleccionar los números reales como el conjunto de respuestas permitidas. Si selecciona los números reales como su conjunto de respuestas permitidas, es cierto que no se le permite tomar la raíz cuadrada de -1, ya que la respuesta, en este caso, el número imaginario i, no es un miembro de la conjunto de números reales, que ha elegido como su conjunto de respuestas permitidas. Sin embargo, si elige que su conjunto de respuestas permitidas sea, no los números reales, sino el conjunto de números complejos, entonces se le permitirá tomar la raíz cuadrada de -1, ya que la respuesta, i, ahora aparece dentro de conjunto de respuestas permitidas.
Por razones históricas, el conjunto de números reales incluye cero pero no incluye infinito. Para permitir el infinito, tienes que usar un conjunto diferente de respuestas permitidas, “RU infinito”, que es básicamente los números reales y también el infinito. Si elige los números reales como su conjunto de respuestas permitidas, entonces no se le permitiría dividir por cero ya que la respuesta, en este caso infinito, no es uno de los números reales, y por lo tanto no está dentro del conjunto de respuestas permitidas. Sin embargo, si elige “los números reales y el infinito” como su conjunto de respuestas permitidas, entonces se le permitiría dividir por cero, ya que ahora la respuesta, en este caso infinito, está ahora dentro del conjunto de respuestas permitidas.
La razón por la que muchas personas, sin darse cuenta, seleccionan los números reales como su conjunto de respuestas permitidas, al igual que el niño que aún no ha estado expuesto a números complejos, es porque, por razones prácticas, a menudo es conveniente excluir el infinito. En física, si aparecen infinitos, indica que la teoría se rompe en esos puntos y ya no es predictiva. Es por esto que Feynman inventó la renormalización. En ingeniería, si aparecen infinitos, sugiere que lo que sea que intentes construir se romperá físicamente. Sin embargo, en matemáticas, se te permite lidiar con el infinito, y hay ramas de las matemáticas dedicadas al estudio del infinito.
Desafortunadamente, algunas personas tienen una razón más estúpida para declarar “no se puede dividir por cero”, simplemente porque se les enseñó eso en la escuela y simplemente aceptan ciegamente lo que se les enseñó en la escuela y por el resto de su vida. , nunca te preguntes por qué es verdad, o pregunta si es verdad. Se les enseñó a no pensar, pero a regurgitar ciegamente lo que el maestro les dice, que es la “respuesta correcta”, y si usted dice algo más, es la “respuesta equivocada”, y generalmente el maestro no sabía mucho sobre el tema. Asunto en primer lugar.